The Navier-StokesEquations

Tentang Persamaan Induk dalam Mekanika Fluida: The Navier-StokesEquations

Masalah global regularity untuk persamaan Navier-Stokes adalah masalah yang didefinisikan oleh Clay Millennium Prize, dan berharga 1 juta dolar. Ini menyangkut bukti tentang ada tidaknya global smooth solution untuk masalah persamaan differential nonlinear seperti pada cabang-cabang lain dalam fisika. Di sini, kita hanya mencoba mengulas tentang masalah global regularity untuk persamaan Navier-Stokes, dari sudut pandang teori. Saya tidak mendiskusikan terhadap pertanyaan-pertanyaan tentang apa konsekuensinya terhadap kosmologi, fisika energi tinggi dan gelombang hidrodinamika misalnya, jika bukti-bukti solid berhasil ditemukan. Lagi pula, beberapa bidang diantaranya di luar minat dan pengetahuan saya.

 

Tanggapan standar dalam hal ini adalah tentang turbulence – perilaku persamaan Navier-Stokes transien tiga dimensi yang fluktuatif. Pada skala kecil, perilakunya jauh lebih nonlinear daripada skala besar. Hal ini membuat orang mengubah tinjauan aliran turbulen dari deterministik ke stokastik. Meskipun begitu, semua kuantitas global terkontrol untuk evolusi numerik persamaan Navier-Stokes yang kita tahu tidak cukup sesuai terhadap penskalaan, yang berarti bahwa mereka sangat lemah dalam mengontrol perilaku skala kecil atau mereka tidak dapat mengontrol semua skala, baik besar maupun kecil (patut dicatat bahwa ini untuk modeling, sehingga Large Eddy Simulation (LES) masih termasuk, namun Direct Numerical Simulation (DNS) tidak termasuk). Saat ini, saya berpandangan bahwa metode terbaik untuk mendapatkan solusi global yang mulus untuk persamaan differential parsial nonlinear termasuk Navier-Stokes memerlukan : 

1.  Solusi eksak dan eksplisit (paling tidak transformasi untuk menjadikannya lebih sederhana)
2.  Perturbative hypotheses (diantaranya, data yang dekat dengan solusi-solusi khusus)
3.  Satu atau lebih kuantitas global terkontrol yang baru (seperti saat ini total kinetic energy and dissipation)
4.  Menemukan metode baru (radikal) walaupun nomor (1), (2) dan (3) tidak mengambil peran di dalamnya (katakanlah ini
5. termasuk dalam daerah teori aliran turbulen dan modeling)

  Masalah global regularity untuk persamaan Navier-Stokes terbilang sangat kurang dalam ketiga syarat pertama di atas. Namun, untuk pertama-tama mari kita tinjau strategi nomor (2). Strategi tersebut tidaklah mungkin dicapai tanpa mendefinisikan ulang masalahnya atau menambahkan asumsi-asumsi baru. Juga, dalam situasi perturbative, persamaan Navier-Stokes didefinisikan hampir linear, sementara dalam situasi non-perturbative, perilakunya sangat nonlinear, sehingga jika kondisi perturbative tidak bekerja, maka tidak ada kemungkinan untuk mereduksi masalahnya dari kasus non-perturbative ke dalam kasus perturbative kecuali dengan teknik-teknik transformasi yang sangat canggih. Hal tersebut akan tampak tidak ada beda dengan menyelesaikan persamaan Navier-Stokes sendiri, yaitu nomor (1). Dengan demikian, marilah kita anggap bahwa masalahnya tereduksi menjadi tiga strategi (1), (3) dan (4) untuk menyelesaikannya. Banyak yang sudah dilakukan khususnya untuk nomor (4), tapi hasil yang teramati menunjukkan adanya hambatan yang besar yang (kelihatannya) menolak metode-metode yang sudah ada. Dalam tinjauan dinamika sistem misalnya, turbulence merupakan sistem dengan derajat kebebasan hampir tak berhingga, sehingga metode Lyapunov benar-benar tidak bekerja. Nomor (1) kemungkinan tidak ada harapan tanpa asumsi-asumsi tambahan, abad lalu menunjukkan bahwa persamaan Navier-Stokes bukan merupakan sistem yang integrabel. Nomor (3) mungkin menunjukkan harapan, tapi kita tidak cukup bijak untuk menemukan kuantitas global terkontrol yang baru. Kasus banyaknya varian dari model adalah yang paling jelas.

Kita akan kembali kepada nomor (3) kemudian, sekarang mari kita tinjau nomor (4). Hal mendasar dalam memodelkan persamaan Navier-Stokes adalah bahwa persamaan tersebut memenuhi scale invariance. Teknisnya, aplikasikan scaling parameter positip lebih besar dari nol, anggap setiap vektor kecepatan yang mulus memenuhi persamaan Navier-Stokes untuk waktu tertentu , Orang dapat membentuk vektor kecepatan yang baru dengan formula

  Scaling invariance dalam hal ini tidak dalam pengaruh gaya-gaya eksternal, tekanan statik juga diskalakan tapi tidak dibahas di sini, sedang viscosity dan density konstan. Kuncinya adalah perkiraan scale invariance dapat memainkan peran penskalaan dengan sempurna. Dalam hal ini parameter skala dapat besar atau kecil, sehingga orang dapat membayangkan bahwa transformasi dari ke sebagai proses pembesaran dan pengecilan. Sekarang ambil perilaku skala kecil dari dan padankan dengan perilaku identik skala lebih besar yang sudah di skala ulang . Kuncinya adalah proses ini mengakibatkan bahwa kita dapat memperlakukannya dengan metode penyelesaian yang sama. Kita amati bahwa proses scaling menyatakan bahwa perilaku skala kecil akan mempunyai skala waktu berbeda dengan perilaku skala besar. Sehingga jika pada skala kecil terjadi suatu proses maka, pada skala lain akan terjadi hal yang sama pada tempat dan waktu berbeda. Blow up dapat muncul ketika solusi menggeser energinya ke dalam skala-skala yang lebih kecil dan menuju singularitas jika prosesnya sangat dekat dengan nol. Untuk mencegah blow up, kita harus menahan pergerakan energinya dari skala besar (frekuensi rendah) ke skala kecil (frekuensi tinggi).

  Sekarang mari kita ambil solusi dari persamaan Navier-Stokes dalam waktu yang tertentu, asumsikan solusinya cukup mulus kecuali pada saat yang tertentu pula . Kuantitas terkontrol global yang kita punya saat ini adalah maximum kinetic energy ; dan cumulative energy dissipation . Hukum kekekalan energi mengakibatkan bahwa kuantitas-kuantitas ini bounded oleh energi kinetik awal, yang juga dapat menjadi besar tapi terhingga. Kontrol dari kuantitas-kuantitas tersebut mempunyai arti bahwa solusi dari persamaan Navier-Stokes masih di daerah bounded dalam waktu yang cukup lama . Bagaimanapun, ini adalah satu-satunya yang kita tahu tentang solusi dalam waktu tertentu yang cukup lama (lainnya, solusinya mulus sampai waktu pendek tertentu ). Sehingga, kita tidak dapat memastikan apakah solusi mendekati waktu adalah sembarang dan bounded dalam kinetic energy dan cumulative energy dissipation, sampai ada terobosan dalam penemuan kuantitas terkontrol global yang baru. Penting untuk digarisbawahi bahwa solusi kita dapat diperburuk oleh faktor ; Karena itu dapat dikatakan bahwa energy kinetik dan energy dissipasi menjadi tak berguna untuk mengendalikan solusi, sementara energi bergerak ke skala-skala yang semakin kecil.

  Dengan demikian supaya nomor (4) sukses, kita perlu mengubah skenario bahwa solusi per satuan skala bersama-sama dengan energi kinetik dan energi dissipasi menggeser energinya ke skala terbesar. Namun setiap teknik analitik yang kita punya (kecuali solusi eksak) memerlukan setidaknya satu bound terhadap solusi sehingga berguna. Sebenarnya, orang setidaknya perlu satu bound untuk meredam nonlinear error dan semua metode yang kita punyai di luar solusi eksak harus mempunyai setidaknya satu bound untuk meredamnya. Namun, satu-satunya bound yang kita punya adalah bound terhadap scale dari solusi, bukan norm dari solusi, jadi kita macet.
  Kesimpulan untuk nomor (4) adalah bahwa setiap klaim dalam global regularity untuk persamaan Navier-Stokes via (4) tampaknya harus menggunakan metode baru yang radikal untuk menyediakan kontrol yang canggih terhadap solusi untuk satuan skala dan waktu sembarang, dan ini tampak tidak mungkin tanpa terobosan dalam nomor (1) atau (3). Dengan kata lain, scale invariance masih dapat digunakan, namun sesudahnya kita harus ada kontrol eksak (1) atau dapat meredam energi (3). Penjelasan di atas adalah kritik umum (jika bukan skeptik) dari strategi nomor (4). Jika kita tinggalkan nomor (4), tinggal nomor (3), yaitu penemuan bound baru yang lebih kuat dari yang sudah ada, karena bekerja dengan yang lama akan menggiring kita dalam situasi kritis, sebagaimana scaling invariance di atas. Sehingga strategi nomor (3) dan (4) kemungkinan besar akan saling berkaitan. Sementara itu, persamaan Navier-Stokes terlihat tidak mempunyai kuantitas fisis baru sebagaimana terlihat dalam eksperimen-eksperimen terkini dalam fluid dynamics. Hal ini mungkin menyebabkan orang meninggalkan fluid dynamics murni dalam pencariannya. Pada level stokastik, hal ini terlihat lebih baik, yang mana hukum-hukum termodinamika statistik mungkin memainkan peran penting, namun masalah persamaan Navier-Stokes, sebagaimana didefinisikan oleh Clay Institute, adalah deterministik, sehingga sekali lagi kita mempunyai 19th century Maxwell demon. Akan terlihat fantastis jika kita berhasil mendapatkan kuantitas terkontrol global yang baru, bukan dari fluid dynamics. Ambil perilaku turbulen dan chaotic dari persamaan Navier-Stokes, cukup beralasan jika hal tersebut ditemukan di luar apa yang kita kenal sebagai fluid dynamics.
   Oleh karena itu, pendapat saya pribadi adalah bahwa strategi nomor (1) adalah yang paling penting, sebagai shortest strategy. Nomor (3), jika tanpa bantuan solusi eksak, memerlukan intuisi yang sangat bagus dalam fisika dan keberuntungan dalam eksperimen. Untuk nomor (4), jika tanpa (1) dan (3), ini saya yakin di luar metode-metode yang sekarang ada, namun saya pikir mengapa persamaan Navier-Stokes menarik, salah satunya adalah dia memaksa kita mengembangkan teknik untuk (4). Seberapa pun sulit masalahnya, sebagaimana didiskusikan di atas, banyak ide-ide spekulatif namun tidak dibahas di sini.
  Sebagai penutup, secara pribadi saya masih menggunakan sebagian besar waktu untuk nge-crack strategi nomor (1), sambil mencoba keberuntungan, dan syukur ada sedikit hasil dan harapan. Bagaimanapun, saya tidak ingin mengatakan bahwa topik yang kita bahas di sini adalah masalah fluid dynamics paling penting. Khususnya, banyak masalah serius dalam persamaan-persamaan fluida yang tidak sesulit global regularity dan global exact analytical solutions untuk persamaan Navier-Stokes, tapi masih sangat penting untuk diselesaikan.




Artikel ini ditulis oleh : Gunawan Nugroho, ST. MT., salah satu dosen bidang minat Rekayasa energi dan Pengkondisian Lingkungan.